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Kopfrechnen
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Unter Kopfrechnen versteht man das Lösen mathematischer Aufgaben im Kopf ohne das Benutzen von Hilfsmitteln.
Inhaltsverzeichnis
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* 1 Grundlagen
* 2 Zauberkunststücke
* 3 Echtes Kopfrechnen
* 4 Bekannte Kopfrechner
* 5 Rechentricks
o 5.1 Multiplikation mit 11
o 5.2 Multiplikation der Zahlen zwischen 10 und 20
* 6 Siehe auch:
* 7 Weblinks

Grundlagen [Bearbeiten]

Viele Menschen besitzen ein grundlegendes Wissen zum Thema Kopfrechnen, das sie in der Schule erworben haben. Normalerweise umfasst dieses Wissen das Ausführen einfacher Additions- und Subtraktionsaufgaben, das auswendig gelernte kleine Einmaleins und das Dividieren. Die Fähigkeit, im Kopf zu rechnen, kann trainiert werden.

Zauberkunststücke [Bearbeiten]

Bei einigen Veranstaltungen von Zauberkünstlern werden seltene besondere Fähigkeiten auf dem Gebiet des Kopfrechnens zur Schau gestellt. Meistens handelt es sich um das Hantieren mit besonders großen Zahlen. Oft stecken dahinter einfache mathematische Besonderheiten, die nur für die spezielle Aufgabe nutzbar sind. Sie sind beeindruckend, aber haben keinen Nutzen im täglichen Leben.

Echtes Kopfrechnen [Bearbeiten]

Nur selten werden Techniken zum allgemeinen Kopfrechnen angeboten. Dieses Gebiet umfasst normalerweise alle Funktionen, die ein durchschnittlicher Schultaschenrechner beherrschen muss. Eines der wenigen guten Werke auf diesem Gebiet ist das Buch Dead reckoning - Calculating without instruments von Ronald W. Doerfler, das bisher nicht ins Deutsche übersetzt wurde.

Bekannte Kopfrechner [Bearbeiten]

Zu den wenigen genialen Kopfrechnern zählen beispielsweise Prof. Aitkens, der Brite Robert Fountain (2-facher Weltmeister), die Niederländer Wim Klein und Jan van Koningsveld (2-facher Vizeweltmeister), Zacharias Dase, der Großmeister im Kopfrechnen Gert Mittring, der Zahlenkünstler Rüdiger Gamm und das Sprachengenie Hans Eberstark. In seinem Buch The great mental calculators beschreibt Smith noch weitere. Auch sogenannte Savants können durch besondere Fähigkeiten im Kopfrechnen (Kalenderrechnen, Wurzelaufgaben) oder durch ein enormes Gedächtnis (sie haben z. B. ganze Telefonbücher im Kopf) auffallen. Sie sind ansonsten geistig stark behindert und müssen in Heimen betreut werden.

Man kann den Titel Großmeister im Kopfrechnen erringen, wie z. B. Gert Mittring bei der 9. Mind Sports Olympiad 2005 in Manchester. Seit 2004 gibt es offizielle Weltmeisterschaften im Kopfrechnen, die alle 2 Jahre stattfinden, zuletzt am 04. November 2006 in Gießen.

Rechentricks [Bearbeiten]

Es gibt einige Methoden, um gewisse Rechnungen einfacher im Kopf durchzuführen. Um eine Multiplikation ohne auswendig gelerntes Einmaleins durchzuführen kann die Russische Bauernmultiplikation verwendet werden. Eine weitere Möglichkeit, um zwei Zahlen zu multiplizieren ist die Verwendung der binomischen Formel:

(x+y) \cdot (x-y)= x^2 - y^2

Um zwei Zahlen a und b zu multiplizieren, muss man sie nur in dieser Form darstellen:

a \cdot b= \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2

Diese Formel, im Englischen Quarter Squares Rule genannt, kann aus der ersten und zweiten Binomischen Formel hergeleitet werden:

(a+b)^2 - (a-b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2 - a^2 + 2 \cdot a \cdot b - b^2 = 4 \cdot a \cdot b

Daraus folgt

a \cdot b = \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{4} = \frac{(a+b)^2}{4} - \frac{(a-b)^2}{4} = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2

Beispiel 18 \cdot 14?

Nach dieser Methode muss man nur das Quadrat von \frac{18 +14}{2} = 16 und von \frac{18 -14}{2} = 2 wissen. Da 162 = 256 und 22 = 4 ergibt sich mit obiger Formel

18 \cdot 14 = 16^2 - 2^2 = 256 - 4 = 252

Diese Methode ist einfach für jemanden, der die Quadratzahlen auswendig beherrscht. Falls beide Faktoren gerade oder ungerade sind, reicht es die Quadrate der natürlichen Zahlen zu wissen. Sehr einfach wird dies, wenn die Faktoren in der Nähe von Vielfachen von 10 liegen: Zum Beispiel:

18 \cdot 22 = (20)^2 - 2^2 = 400 - 4 = 396 .

Eine ebenfalls sehr einfache Methode für die Multiplikation von zweistelligen Zahlen unter 20 ist die folgende: Man addiert die hintere Ziffer der einen Zahl zur anderen Zahl und hängt eine Null an. Danach addiert man zu diesem Resultat das Produkt der beiden Einer-Ziffern:

14 \cdot 17 = (14+7) \cdot 10 + 4 \cdot 7 = 210 + 28 = 238


Ein weiterer Trick kann für die Quadrierung von Zahlen angewendet werden, die auf Fünf enden. Man multipliziert die Ziffer bzw. Zahl vor der Fünf mit ihrem Nachfolger und hängt einfach die 25 an.

Beispiel:

35 * 35 = 1225

Rechnung:

3 * (3 + 1) = 12

und die 25 anhängen ergibt 1225.

Multiplikation mit 11 [Bearbeiten]

Multiplikationen mit 11 sind ganz einfach. Man nimmt die erste Ziffer der Zahl und die letzte, dazwischen schreibt man die Summe der beiden Ziffern.

Also: 11 x 13 => die 1 der 13 ist die erste Ziffer, die 3 der 13 die letzte Ziffer und in die Mitte kommt 1 + 3.

1 1+3 3 = 143

Auch dreistellige Zahlen sind kein Problem: 123 * 11 => die 1 der 123 ist die erste Ziffer, die 3 der 123 die letzte Ziffer, dazwischen die beiden Summen aus 1+2 und 2+3.

1 1+2 2+3 3 = 1353

Multiplikation der Zahlen zwischen 10 und 20 [Bearbeiten]

Beispiel:

17 * 18 addiere zur 17 die 8, das sind 25. An die 25 wird eine Null angehängt, das ergibt 250. Jetzt nehme ich die 7 von der 17 und die 8 von der 18. Diese müssen multipliziert werden, also 7 * 8 = 56. Zu den oben ermittelten 250 addiere ich jetzt die 56 und das Ergebnis ist 306.

Anderes Beispiel:

16 * 13 Rechengang: 16+3= 19 19*10 (oder Null angehängt) ergibt 190. 3*6= 18 190 + 18 gleich 208